Question

数列{a_n}满足a₁=1且8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1）．记．
（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式及数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer

（法一）（I）由a1结合递推公式可求a2，a3，a4，代入求b1，b2，b3，b4
（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，观察规律可猜想数列为等比数列，进而可求bn，结合⇒，从而猜想得以证明，代入求出an•bn，进而求出前n和sn
（法二）（I）代入递推公式可得，代入可求b1，b2，b3，b4
（II）利用（I）中的递推关系个构造数列为等比数列，从而可求bn，sn
（法三）（I）同法一
（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，观察规律可猜想数列bn+1-bn为等比数列，仿照法一再证明猜想，根据求通项的方法求bn，进一步求sn
【解析】
法一：
（I）a1=1，故；，
故；，
故；，
故．

（II）因，
故猜想是首项为，公比q=2的等比数列．
因an≠2，（否则将an=2代入递推公式会导致矛盾）故．
因，

故确是公比为q=2的等比数列．
因，故，，
由得，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn===

法二：
（Ⅰ）由得，代入递推关系8an+1an-16an+1+2an+5=0，
整理得，即，
由a1=1，有b1=2，所以．

（Ⅱ）由，
所以是首项为，公比q=2的等比数列，
故，即．
由，得，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn===．

法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）猜想{bn+1-bn}是首项为，
公比q=2的等比数列，
又因an≠2，故．
因此=
；
=．
因是公比q=2的等比数列，，
从而bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
=
=
=．
由得，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn===．