Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，沿EF将梯形ABCD翻折，使AE⊥平面EBCF（如图）．设AE=x，四面体DFBC的体积记为f（x）．
（1）写出f（x）表达式，并求f（x）的最大值；
（2）当x=2时，求异面直线AB与DF所成角θ的余弦值．

Answer

（1）过D作DH∥AE，则DG=AE，且DH⊥平面EBCF，由f（x）=VD-BFC = 求出f（x）的解析式，
由二次函数的性质求出其最大值．
（2）过A作AG∥DF，连BG，则∠BAG即为异面直线AB与DF所成的角，求出此角所在三角形的三边长，余弦定理求得
θ的余弦值．
【解析】
（1）∵AE⊥平面EBCF，过D作DH∥AE，则DG=AE，且DH⊥平面EBCF，所以，
f（x）=VD-BFC = 
=，
即x=2时，f（x）有最大值为．
（2）过A作AG∥DF，连BG，则∠BAG即为异面直线AB与DF所成的角
由x=2知EG=1，在△AEG中，AG2=22+12=5
在△BEG中，BG2=22+12=5，在△AEB中，AB2=22+22=8，
∴由余弦定理可得 ．