Question

已知平面直角坐标系下的一列点P_n（a_n，b_n）满足，且．
（Ⅰ） 求点P₂坐标，并写出过点P₁，P₂的直线L的方程；
（Ⅱ） 猜想点P_n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；
（Ⅲ） 若c₁=1，c_n+1=b_nc_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求的值．

Answer

（Ⅰ）由，知，，，由此能求出过点P1，P2直线L的方程．
（Ⅱ）由P2坐标为（）得，所以点P3∈L，猜想点Pn（n≥3，n∈N）在直线L上，再用数学归纳法证明．
（Ⅲ）由，ak+bk=1，知an≠0，an≠±1，所以，是等差数列，由此入手能够导出的值．
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴，
∴，，
∴P2坐标为（），（2分）
∴过点P1，P2直线L的方程为x+y=1，（4分）
（Ⅱ）由P2坐标为（）得，
∴点P3∈L，
猜想点Pn（n≥3，n∈N）在直线L上，以下用数学归纳法证明：
当n=3时，点P3∈L，（5分）
假设当n=k（k≥2）时，命题成立，即点Pk∈L，
∴ak+bk=1，（6分）
则当n=k+1时，ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1
=，（7分）
∴点Pn∈L（n≥3），（8分）
（Ⅲ）由，ak+bk=1，
∴an≠0，an≠±1，
∴，
∴，
∴是等差数列，
∴，（9分）
∴，
∵cn+1=bncn，
∴，
=，（10分）
∴（11分）
∴Sn=c1a2+c2a3+…+cnan+1
=+（）]
=，
∴=
==．（12分）