Question

设函数f（x）=x²-ax-6和函数，已知过点（3，-28）的两直线与曲线f（x）分别相切于两点A（m₁，f（m₁）），B（m₂，f（m₂）），且是m₁+3与m₂+3的等比中项．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 若函数h（x）=f（x）-g（x）-4lnx在是增函数，求k的取值范围；
（Ⅲ） 设，求证：．

Answer

（Ⅰ）先由f（x）=x2-ax-6求导f'（x）=2x-a设点（m，f（m））在曲线f（x）上，利用导数的几何意义求出切线方程及切点A（m1，f（m1）），B（m2，f（m2）），结合等比中项条件得到m1m2+3（m1+m2）-11=0得到利用根与系数的关系即可求得a值
（Ⅱ）利用在是增函数，结合导数得到k≥-2x3+5x2+4x+2在上恒成立，最后利用恒成立的条件即可求出k的取值范围；（Ⅲ）先将已知条件进行变形化简得出t＞k＞0，再设u（x）=ln（1+x）-x利用导数工具研究其单调性即可证得．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=x2-ax-6
∴f'（x）=2x-a设点（m，f（m））在曲线f（x）上，
∴点（m，f（m））
处的切线方程为点y-（m2-am-6）=（2m-a）（x-m），（1分）
∵切线过点（3，-28）与曲线f（x）相切于点A（m1，f（m1）），B（m2，f（m2）），
∴-28-（m2-am-6）=（2m-a）（3-m），即m2-6m+3a-22=0，
∴m1+m2=6，m1m2=3a-22，（2分）
∵是m1+3与m2+3的等比中项，
∴（m1+3）（m2+3）=20，即m1m2+3（m1+m2）-11=0，（3分）
∴3a-22+3×6-11=0，∴a=5，（4分）
（Ⅱ）∵在是增函数，
∴在上恒成立，（5分）
∴k≥-2x3+5x2+4x+2在上恒成立，
设m（x）=-2x3+5x2+4x+2，∴m'（x）=-6x2+10x+4，（6分）
则m'（x）=-6x2+10x+4=0，则，或x=2，
∴m（x）=-2x3+5x2+4x+2
在上是增函数，[2，4）上是减函数，
∴当x=2时，m（x）有最大值为14，（7分）
∴k的取值范围是[14，+∞），（8分）
（Ⅲ）∵）
又∵，
∴
（9分）
=
=，（10分）
，（11分）
∴t＞k＞0，
设u（x）=ln（1+x）-x，（12分）
∴，
当x＞0时，u'（x）＜0，
∴u（x）在（0，+∞）上递减，（13分）
∵t＞k＞0，∴u（t）＜u（k），
∴ln（1+t）-t＜ln（1+k）-k，
∴（14分）