Question

如图，BC是过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F且垂直于对称轴的一条弦，以BC为下底在左侧截取一个等腰梯形ABCD（|AD|＜|BC|），则所截等腰梯形面积的最大值为    ．

Answer

设D点坐标为（x，y）（x＞0），由点D在椭圆上知 （y≥0），得y2=4（1-x2），用x，y表示出等腰梯形ABCD的面积为 ，将y2=4（1-x2）代入得S2=（x+1）2•y2=（x+1）2•4（1-x2）=4（-x4-2x3+2x+1），利用导数求此函数的最值
【解析】
设D点坐标为（x，y）（x＞0），由点D在椭圆上知 （y≥0），
得y2=4（1-x2）
∴等腰梯形ABCD的面积为 （2分）
∴S2=（x+1）2•y2=（x+1）2•4（1-x2）=4（-x4-2x3+2x+1）
=-4x4-8x3+8x+4（0＜x＜1）
（S2）'=4（-4x3-6x2+2），
令（S2）'=0，
得2x3+3x2-1=0，即（x+1）2（2x-1）=0，
∵0＜x＜1，∴，（6分）
又当 时，（S2）'＞0；当 时，（S2）'＜0，
∴在区间（0，1）上，S2有唯一的极大值点 ，（8分）
∴当 时，S2有最大值为 ；
即当 时，S有最大值为 ．       （10分）
因此只需分别作OC，OB的中垂线与上半椭圆交于D，A，这样的等腰梯形的面积最大．（12分）