Question

如图是一个三角形数阵（x≠0，-1），从第二行起每个数都等于它肩上两个数的和，第k行的第一个数为a_k（1≤k≤n，n≥2，k、n∈N^*）．
（Ⅰ）写出a_k关于k的表达式：a_k=f（k）；
（Ⅱ）求第k行中所有数的和T_k；
（Ⅲ）当x=1时，求数阵中所有数的和S_n=T₁+T₂+…+T_n．

Answer

（Ⅰ）写出ak关于k的表达式：ak=f（k）；通过排布找规律，归纳得出1，1+x，（1+x）2，再由等比数列通项公式得出．
（Ⅱ）求第k行中所有数的和Tk；通过总结第一行，第二行，第三行的数的规律，总结归纳出，各行数成等比数列，利用等比数列求和公式求得．
（Ⅲ）当x=1时，求数阵中所有数的和Sn=T1+T2+…+Tn，x=1代入，得到一个数列的和，利用分组求和与错位相减法求和可求得．
【解析】
（Ⅰ）由数阵的排布规律可知：a1=1=（1+x），a2=（1+x）1，a3=1+x+x+x2=（1+x）2，
a4=（1+x）2+x+2x2+x3=（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3，…
猜想：ak=（1+x）k-1（1≤k≤n）．                                   （3分）
（Ⅱ）由数阵的排布规律可知：
第1行：1，x，x2，…，xn-1
第2行：1+x，x（1+x），x2（1+x），…
第3行：（1+x）2，x（1+x）2，x2（1+x）2，…
因为x≠0，-1；所以数阵中除第n，n-1行外，其余各行均为等比数列，
且公比为x，又第k行的首项为ak，项数为n-k+1，
∴当k≠n，n-1，且x≠1时①
当k≠n，n-1，且x=1时，第k行为常数列，2k-1，2k-1，…，2k-1（共有n-k+1行）
∴Tk=（n-k+1）•2k-1②
又当k=n时，ak=an=（1+x）n-1
当x≠1时，①式为Tn=（1+x）n-1=an
当x=1时，②式为Tn=2n-1=an
当k=n-1时，由排布规律可知，第n-1行两个数之和为an=（1+x）n-1
而在①式中，即x≠1时，
在②式中，即x=1时Tn-1=2•2n-2=2n-1=an
即当1≤k≤n，n≥2时，都有（9分）
（Ⅲ）当x=1时，Tk=（n-k+1）•2k-1=n•2k-1-（k-1）•2k-1
∴Sn=T1+T2+T3+…+Tn=n（1+2+22+…+2n-1）-[1•2+2•22+…+（n-1）2n-1]，
在上式中，前面一部分直接用等比数列求和公式求得和为n（2n-1），
后一部分可用错位相减法求得和为（n-2）•2n+2；
∴Sn=n（2n-1）-（n-2）•2n+2=2n+1-n-2（n≥2）．             （13分）