Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{a_n}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下运算和结论：
①；
②
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比数列
④数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n项和为；
⑤若存在正整数k，使S_k＜10，S_k+1＞10，则．
在后面横线上填写出所有你认为正确运算结果或结论的序号    ．

Answer

根据数列的规律，分母为n时，所对应的项数是（n-1）项．从分母是2开始到分母为n结束共有项
①前23项构成的数列是：，，，，，，，，，，…，则第23项一目了然．
②易知：前11项构成的数列是：，，，，，，，，，，，再求和便知正误．
③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…实际上是，1，，2，…，再由数列定义判断
④数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…实际上是，1，，2，…，先判断数列类型，再用求其前n项和．
⑤通过④的前n项和解不等式，确定k的值，从而再判断终止的项．
【解析】
①前23项构成的数列是：，，，，，，，，，，…
∴，故不正确；
②由数列可知：前11项构成的数列是：，，，，，，，，，，
∴s11=++++++++++=，故正确；
③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是，1，，2，
由等差数列定义（常数），所以是等差数列，故不正确．
④∵数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是，1，，2，…．
由③知是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知：，故正确；
⑤由④知数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，a11+a12+a13+a14+a15，a16+a17+a18+a19+a20+a21，是，1，，2，
，++…+
∴T5=7.5＜10，T6=10.5＞10，∴，正确．
故答案为：②④⑤