Question

在环保知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关水体净化知识的问题，甲答对的概率是，甲、丙两人都打错的概率是，乙、丙两人都答对的概率是．
求：（1）乙、丙两人各自答对这道题目的概率．
（2）（理做）答对这道题目的人数的随机变量ξ的分布列和期望．
（文做）甲、乙、丙三人中至少有两人答对这道题目的概率．

Answer

（1）设出乙和丙答对的概率，根据甲答对的概率是，甲、丙两人都打错的概率是，乙、丙两人都答对的概率是，列出关于两个概率的关系式，就方程组即可．
（2）（理）由题意知变量的可能取值是0，1，2，3，4，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列和期望值．
（文）由题意知甲、乙、丙三人中至少有两人答对这道题目包括四种情况，这四种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式写出结果．
【解析】
（1）设乙、丙各自答对的概率分别是P1、P2，
根据题意得：
，解得：P1=．P2=；           
（2）（理科）ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）=××=，
P（ξ=1）==；              （9分）
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==
所以ξ的分布列为                                      （10分）

ξ 1 2 3
P

ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．（12分）
（文科）由题意知甲、乙、丙三人中至少有两人答对这道题目包括四种情况，
这四种情况是互斥的，
∴P=+=