Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在x=-与x=1时都取得极值．求：
（1）求a、b的值
（2）若对x∈[-1，2]，有f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）根据所给的函数在两个点取得极值，写出函数的导函数，则导函数在这两个点的值等于0，得到关于a，b的方程组，解方程组即可．
（2）要求一个恒成立问题，只要函数的最大值小于代数式即可，f （ x）的最大值为f （2）；要使f （ x）＜c2恒成立，只需f （2）＜c2，解不等式．
【解析】
（1）f′（ x）=3x2+2ax+b，
令f′（-）=0，f′（1）=0
得：a=-，b=-2
（2）由（1）知f （ x）=x3-x2-2x+c，
令f′（ x）=3x2-x-2＞0得x＜或x＞1，
所以f （ x）在[-1，-]，[1，2]上递增；[-，1]上递减，
又f （-）＜f （2），
∴f （ x）的最大值为f （2）；
要使f （ x）＜c2恒成立，只需f （2）＜c2，
解得c＜-1或c＞2．