Question

（理科）已知数列{ a_n }的前n项和为S_n，a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N*．
（1）求S_n
（2）若a_n+1＞a_n，n∈N*，求a的取值范围．

Answer

（1）直接由an+1=Sn+3n得Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，变形为Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）；即可求出Sn-3n=（a-3）2n-1，进而求出Sn；
（2）直接利用（1）中求出的Sn的表达式以及当n≥2时，an=Sn-Sn-1，先求出数列{ an }的通项，进而整理出an+1-an的表达式利用an+1＞an，即可求出a的取值范围．
【解析】
（1）依题意得：Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，（2分）
由此得Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）                                   （4分）
因此，Sn-3n=（a-3）2n-1，
故 Sn=（a-3）2n-1+3n，n∈N﹡（6分）
（2）由（1）知Sn=（a-3）2n-1+3n，n∈N﹡
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n+（a-3）2n-1-3n -1-（a-3）2n-2=2×3n-1+（a-3）2n-2 （8分）
∴an+1-an=4×3n-1+（a-3）2n-2=2n-2[12×+a-3]（10分）
当n≥2时，an+1＞an⇒12×+a-3＞0⇒a＞-9
当n=1时，a2=a1+3＞a1，
综上所述，a的取值范围是（-9，+∞）      （12分）