Question

（文科）数列{ a_n }中，a₁=t，a₂=t²，（t≠1）．x=是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）证明数列[a_n-1-a_n]是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=2（1-），当t=2时，数列{bn}的前n项和为S_n，求使S_n＞2010的n的最小值．

Answer

（1）根据函数在 的导数等于零寻找an+1，an，an-1之间的关系，然后根据等比数列的定义进行证明；在此基础上求出数列an+1-an的通项公式，按照迭加的方法即可求出an．
（2）求出数列{bn}的前n项和Sn是解决本题的关键，根据已知条件确定出关于n的不等式，通过解不等式求出正整数n的最小值；
解析：（1）f’（x）=3an-1x2-3[（t+1）an-an+1]（n≥2）
由题可知f’（）=0即3an-1（）2-3[（t+1）an-an+1]=0 （n≥2）
∴an+1-an=t（an-an-1 ） （n≥2）
∵t＞0且t≠1，a2-a1=t（t-1）≠0
∴数列{ an+1-an }=（t2-t）tn-1=（t-1）tn
∴a2-a1=（t-1）t，a3-a2=（t-1）t2，…an-an-1=（t-1）tn-1
以上各式两别分别相加得an-a1=（t-1）（t+t2+…+tn-1）
∴an=tn（n≥2）
当n=1时成立∴an=tn
当n=2时成立∴bn=2-，
∴Sn=2n-（ 1+++…+）=2n-
=2n-2（ 1-）=2n-2+
又Sn+1-Sn=2-＞0，所以数列{Sn}是递增数列
Sn＞2010，得2n-2+2（）n＞2010，n+（）n＞1006
当n≤1005时，n+（）n＜1006
当n≥1006时，n+（）n＞1006
因此当Sn＞2010时，n的最小值为1006．