Question

已知双曲线x²-2y²=2的左、右焦点分别是F₁、F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求动点P的轨迹E的过程．
（2）设过点F₂且不垂直与坐标轴的动直线a交轨迹E与A、B两点，试问在y轴上是否存在一点D使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，试判断点D的活动范围：若不存在，试说明理由．

Answer

（1）双曲线的方程可化为-y2=1，则|FF2|=2，|PF1|+|PF2|=4＞|FF2|，由此知点P的轨迹E是以F1，F2为焦点且长轴长为4的椭圆，并能求出其方程．
（2）假设存在满足条件的点D（0，m），设直线a的方程为y=k（x-），代入椭圆方程得：（1+4k2）x2-8k2x+12k2-4=0，再由韦达定理结合分类讨论思想能够推导出满足条件的点D存在，其活动范围是满足-≤y≤且y≠0的区域．
【解析】
（1）双曲线的方程可化为-y2=1，则|FF2|=2，|PF1|+|PF2|=4＞|FF2|，
所以点P的轨迹E是以F1，F2为焦点且长轴长为4的椭圆，其方程为+y2=1．（3分）
（2）假设存在满足条件的点D（0，m），设直线a的方程为y=k（x-）（k≠0）
代入椭圆方程得：（1+4k2）x2-8k2x+12k2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2-2）=
=（x1，y1-m），=（x2，y2-m），
=（ x1+x2，y1+y2-2m），（6分）
又=λ（1，k） （λ=x2-x1），
∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，∴（+）⊥
∴（+）•=0，即+-2mk=0，整理得：-2mk=0，（8分）
∵k≠0，∴m==
若k＞0，则≤（当且仅当k=时取等号），即m∈（0，]（10分）
若k＜0，则≥-（当且仅当k=-时取等号），即m∈[-，0）（11分）
综上，满足条件的点D存在，其活动范围是满足-≤y≤且y≠0的区域．