Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=120°，又PC⊥平面ABCD，PC=a，E是PA的中点．
（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求直线PB与直线DE所成的角的余弦值；
（3）设二面角A-BE-D的平面角为θ，求cosθ的值．

Answer

（1）以C为原点，CA所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求出向量的坐标，易得=2，即PC∥QE，结合已知中PC⊥平面ABCD，由线面垂直的第二判定定理可得QP⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面EBD⊥平面ABCD；
（2）分别求出直线PB与直线DE的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出直线PB与直线DE所成的角的余弦值；
（3）分别求出平面ABE与平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-BE-D的平面角的余弦值．
【解析】
由PC⊥平面ABCD，所以以C为原点，
CA所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
∵ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=120°，
PC=a，E是PA的中点．所以，，P（0，0，a），
∵E是PA的中点，∴．（2分）
（1）设AC和BD交于点Q，则Q（0，a，0），
∴=（0，0，a，），=2，PC⊥平面ABCD，∴QP⊥平面ABCD，平面EBD⊥平面ABCD；（4分）
（2）∵•=（-a，a，-a）•（-a，0，a，）=-a2，
||=a，||=a，
∴cos＜，＞==；-（4分）
（3）设平面ABE的法向量为p=（x，y，z），可得p=（-，1，），
又AC⊥BC，得AC⊥面BDE，又=（0，a，0），
∴取平面BDE的法向量q=（0，，0），
∴p•q=，|p|=，|q|=，
∴cosq=．（4分）