Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2，n•a_n+1=S_n+n（n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，是否存在正整数m，使得对一切正整数n，总有b_n≤m？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）把n=1代入已知的等式，由S1=a1=2，得到第2项与第1项的差为常数2，然后由已知的等式，记作①和把n换为n-1得到另外一个等式，记作②，①-②化简后，得第n+1项与第n项的差也为常数2，综上，得到此数列为首项是2，公差也是2的等差数列，写出通项公式即可；
（2）存在．原因是：根据（1）求出的首项和公差利用等差数列的前n项和公式表示出Sn，代入已知的中，化简可得bn的通项公式，求出大于等于1时x的范围，即可得到第四项与第五项相等且为最大项，把n=4或5代入bn的通项公式即可求出最大项的值，令m大于等于求出的最大项的值，在解集中求出正整数m的最小值即可．
【解析】
（1）把n=1，代入n•an+1=Sn+n（n+1）得：
1•a2=S1+1=a1+1=2+1=3，即a2-a1=2，
由，
①-②得：n•an+1-（n-1）•an=an+2n，
化简得：an+1-an=2（n≥2），
∵a2-a1=2，∴an+1-an=2（n∈N+），
即数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴an=2+2（n-1）=2n；

（2）存在．
∵an=2n，∴Sn=2n+×2=n（n+1），
则bn=•Sn=•n（n+1），
∴=（1+）≥1，解得n≤4，
∴b1＜b2＜b3＜b4=b5＞b6＞b7＞…＞bn＞…
∴b4=b5=最大，
∴m≥，又m为正整数，
∴m的最小值为4．