Question

一元二次方程mx²+（2m-3）x+（m-2）=0的两个实数根为tanα和tanβ．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求tan（α+β）的取值范围及其最小值．

Answer

（1）利用二次方程有两个不等根，令判别式大于0，二次项系数非0，解不等式求出m的范围．
（2）利用韦达定理求出tanα+tanβ，tanαtanβ，利用两角和的正切公式求出tan（α+β）是关于m的一次函数，求出tan（α+β）的取值范围及其最小值．
【解析】
（1）由方程有实根，得，（2分）
所以m的取值范围为且m≠0；（2分）
（2）由韦达定理，（2分）
代入和角公式，得，（4分）
所以tan（α+β）的取值范围为，最小值为．（2分）