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△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3,…,△AnBn-1Bn均为等腰直角...

△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3,…,△AnBn-1Bn均为等腰直角三角形,已知它们的直角顶点A1,A2,A3,…,An在曲线xy=1(x>0)上,B1,B2,B3,…,Bn在x轴上(如图),
(1)求斜边OB1,B1B2,B2B3的长;
(2)求数列OB1,B1B2,B2B3,…,Bn-1Bn的通项公式.

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(1)利用图形关系直接可以计算;(2)解法一可以由(1)猜想结论,然后利用数学归纳法进行证明,解法二借助于表示出Bn、An的坐标,利用曲线xy=1,从而构建数列,探求其通项. 【解析】 (1).(4分) (2)解法1:Bn-1Bn=an,猜想出 当n=1时,由上已证猜想成立. 假设n=k时,猜想成立,即有,(2分) 设Sk是an的前k项和,则有. ∴. 两式相减,得(3分) 即. ∴, 解得,(2分) 综合上述,所求的通项公式.(1分) 解法2:设OB1=a1,B1B2=a2,,Bn-1Bn=an,{an}的前n项和为Sn .侧Bn(Sn,0),∴.(3分) 代入曲线方程得:,(2分) 化简得(Sn+1)2-(Sn)2=4,(3分) ∴(Sn)2=(S1)2+4(n-1)=4n,∴所求的通项公式为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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