Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面 ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，点E，点F分别是PC，AP的中点．
（1）求证：侧面 PAC⊥侧面PBC；
（2）求点P到平面BEF的距离；
（3）求异面直线AE与 BF所成的角的余弦．

Answer

（1）以BP所在直线为z轴，BC所在直线y轴，建立空间直角坐标系，分别求出侧面 PAC的一个法向量和侧面PBC一个法向量，代入向量夹角公式，判断两个向量的数量积为0，即可得到侧面 PAC⊥侧面PBC；
（2）根据（1）的结论，我们可得EF⊥平面PBC，即EF⊥PC，由面面垂直的性质可得PC⊥平面BEF，故PE长即为P点到平面PEF的距离．
（3）求异面直线AE与 BF的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出求异面直线AE与 BF所成的角的余弦．
【解析】
（1）以BP所在直线为z轴，BC所在直线y轴，建立空间直角坐标系，由条件可设P（0，0，4），B（0，0，0），C（0，-4，0），A（4，-4，0）；
则E（0，-2，2），F（2，-2，2），（2分）
平面PBC的法向量=（1，0，0），而=，
因为=0，所以侧面PAC⊥侧面PBC；（2分）
（2）证明：在等腰直角三角形PBC中，BE⊥PC，又中位线EF∥AC，而由（1）AC⊥平面PBC，则EF⊥平面PBC，
∴EF⊥PC，（2分）
所以PC⊥平面BEF，那么线段即为点P到平面BEF的距离．（2分）
（3）由（1）所建坐标系，得 =（-4 ，2 ，2 ），=（2 ，-2 ，2 ），
∴•=-16，又||•||=24 ，（2分）
cos＜，＞=-，∴AE与 BF所成的角的余弦值是．（2分）