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给定椭圆C:C,称圆心在坐标原点O,半径为(a>b>0)的圆是椭圆C的“伴随圆”...

给定椭圆C:manfen5.com 满分网C,称圆心在坐标原点O,半径为(a>b>0)的圆是椭圆C的“伴随圆”.
(1)若椭圆C过点manfen5.com 满分网,且焦距为4,求“伴随圆”的方程;
(2)如果直线manfen5.com 满分网与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点,那么请你画出动点manfen5.com 满分网轨迹的大致图形;
(3)已知椭圆C的两个焦点分别是Q(a,b),椭圆C上一动点M1满足manfen5.com 满分网.设点P是椭圆C的“伴随圆”上的动点,过点P作直线l1、l2使得l1、l2与椭圆C都各只有一个交点,且l1、l2分别交其“伴随圆”于点M、N.当P为“伴随圆”与M、N轴正半轴的交点时,求manfen5.com 满分网与l2的方程,并求线段manfen5.com 满分网的长度.

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(1)将点代入椭圆C:中可求出a2=5又焦距为4再结合b2=a2-c2=1可求出b2=1故圆的半径R=,再由圆心(0,0)写出圆的方程. (2)由于直线与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点可以得到即即a2+b2=9在结合a>b>0求出a,b的取值范围即可得到动点(a,b)的轨迹方程,再根据轨迹方程即可做出对应的图象. (3)由题意得得,半焦距进而求出b2=a2-c2=1所以椭圆C的方程为所以“伴随圆”的方程为x2+y2=4,再根据题意知P点的坐标为(0,2)进而可根据题意设与椭圆有一个交点的直线为y=kx+2在与椭圆方程联立可求出K的值即可写出符合条件的直线方程.对于线段的长度可利用,l2垂直求出. 【解析】 (1)由题意得:,则a2=5(1分) 又由焦距为2c=4,所以焦距为b2=a2-c2=1(2分) 故所求的“伴随圆”的方程为x2+y2=6(4分) (2)由于椭圆C的“伴随圆”x2+y2=a2+b2与直线有且只有一个交点,则圆心到直线的距离等于半径, 即(7分) 故动点Q(a,b)轨迹方程为a2+b2=9(a>b>0) 即动点的轨迹是:以原点为圆心半径为3的圆上八分之一弧(除去两端点)如图(10分) (3)由题意得:得,半焦距来了 则b=1椭圆C的方程为“伴随圆”的方程为x2+y2=4(11分) 文科 因为“伴随圆”的方程为x2+y2=4与M、N轴正半轴的交点P(0,2), 设过点P(0,2),且与椭圆有一个交点的直线为y=kx+2, 则整理得(1+3k2)x2+12kx+9=0(14分) 所以△=144k2-4×9(1+3k2)=0,解得k=±1 所以,l2的方程为y=x+2,y=-x+2(16分) 由于,l2垂直,线段的长度为4(18分)
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考点分析:
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D.不确定
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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