Question

设函数，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，，f（x_n）=x_n+1（n∈N^*）
（1）求f（x）的表达式；
（2）求x₂₀₁₁的值；
（3）若且，求证：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

Answer

（1）由方程x=f（x）有唯一解，则ax2+（2a-1）x=0有唯一解，知 ，由此能求出f（x）的表达式；
（2）由f（xn）=xn+1，知，由 等差数列的定义可求出数列{xn}的通项公式；
（3）由
b1+b2+…+bn-n＜1，由此能证明b1+b2+…+bn＜n+1．
【解析】
（1）由，可化简为ax（x+2）=x∴ax2+（2a-1）x=0
∴当且仅当时，方程x=f（x）有唯一解．
从而
（2）由已知f（xn）=xn+1（n∈N*），得
∴，即
∴数列是以为首项，为公差的等差数列．，∴
∵，
∴，即
∴
故
（3）证明：∵，
∴∴
∴
故b1+b2+…+bn＜n+1．