Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．
（Ⅰ）若f（x）为（0，+∞）上的单调函数，试确定实数m的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）在定义域上的极值；
（Ⅲ）设，求证：a_n＞ln2．

Answer

（Ⅰ）由题意得所以，所以m≤0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，m≥1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
（Ⅱ）因为函数的定义域是（-1，∞）所以当m≤0时＞0所以此时f（x）没有极值；
当m＞0时，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，故当时，f（x）有极大值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），．
【解析】
（Ⅰ）
∵
∴m≤0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增
∴m≥1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减
∴m的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）单调函数；
（Ⅱ）①当m≤0时，f'（x）＞0，f（x）为定义域上的增函数，
∴f（x）没有极值；
②当m＞0时，由f'（x）＞0得；
由f'（x）＜0得∴上单调递增，上单调递减．
故当时，f（x）有极大值，但无极小值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），
令，得
所以=．
所以an＞ln2．