Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0，若对任意的x，y∈（0，+∞），不等式恒成立，则实数a的取值范围是    ．

Answer

先根据条件证明函数f（x）在（0，+∞）上单调性，然后化简不等式，根据 ≥恒成立建立关系式即可．
【解析】
设x1＞x2＞0，则 ＞1
∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴f（x）-f（y）=f（ ），
f（x1）-f（x2）=f（ ）＜0（x＞1时，f（x）＜0）
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数
∵
∴f（ ）≤f（a ）
即 ≥a
≥≥a
∴a ，又a＞0．
故答案为：