Question

如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，三角形PAD为等边三角形，平面APD⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，E，F分别为AD和PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求点B到平面PAC的距离．

Answer

（1）取DP的中点G，连接EG、FG．要证EF∥平面PAD，需要证面GEF∥面PAD，需要证 ，易得证明思路．
（2）求点B到平面PAC的距离常用体积相等来求解即vB-PAC=VP-ABC而三棱锥P-ABC的高利用题中的条件易知是PE在利用体积相等可求解．
【解析】
（1）取DP的中点G，连接EG、FG，
∵F是PC的中点，G是DP的中点，
∴GF是△PCD的中位线，GF∥CD∥AB；
∵G是DP的中点，E是AB的中点，
∴GE∥AP；
GE、GF⊆面GEF，GE与GF相交，∴面GEF∥面PAB，
∵EF⊆面GEF，∴EF∥平面PAB．
（2）连接pE，EC
∵三角形PAD为等边三角形且E为AD的中点
∴PE⊥AD
∵面PAD⊥面ABCD
∴PE⊥面ABCD
∴PE⊥EC
∵AB=2，AD=1
∴PE=
∴PC=
∴
设B到面PAC的距离为h则vB-PAC=VP-ABC．．，
∴h=