Question

已知数列{a_n}的前n项的和为s_n=2ⁿ-1（n∈N⁺），数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N⁺），b₃=11，且其前9项的和为153．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设，数列{c_n}前n项的和为T_n，求使不等式对一切n∈N⁺都成立的所有正整数k．

Answer

（1）由项与前n项和的关系an=sn-sn-1（n≥2），a1=s1，得an=2n-1，由所给等式推出数列{bn}为等差数列，由已知条件列方程组求出首项和公差，进而得数列{bn}的通项公式；
（2）求（1）知数列{an}，{bn}的通项公式，代入求出数列{cn}的通项公式，由错位相减法求出其前n项和，判断Tn的增减性，求出最小项，代入不等式，求得正整数k．
【解析】
an=sn-sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2n-2n-1=2n-1（n≥2），
当n=1时，a1=s1=1，符合上式，∴an=2n-1，
∵bn+2-2bn+1+bn=0（n∈N+），
∴bn+2+bn=2bn+1（n∈N+），
∴数列{bn}为等差数列，
∴得
∴bn=5+3（n-1）=3n+2．
（2），
∴Tn=+++…++，
Tn=+++…++，
∴Tn=1+++…+-
=1+-=2-
∴，∵，∴Tn递增，
∴Tn＞T1=1，∴，因为k为正整数，所以k=1．