Question

已知二次函数f（x）的二次项系数a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
（1）若方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最小值不大于-3a，且函数在R上为减函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）据二次不等式的解集与相应的二次方程的根的关系，判断出-1，2是方程的根，利用韦达定理列出a，b，c满足的等式；再利用二次方程有两个相等的实根，判别式等于0列出关于a，b，c的另一个等式，解方程组求出f（x）的解析式．
（2）通过对二次函数配方求出其最小值，列出不等式求出a的范围；求出G（x）的导函数，令其大于等于0恒成立，求出a的范围．
【解析】
（1）设二次函数为f（x）=ax2+bx+c
∵f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
∴-1，2是方程ax2+（b-2）x+c=0的两个根
∴
∵方程f（x）+3a=0有两个相等的实根即
ax2+bx+c+3a=0有两个相等的实根
∴△=b2-4a（c+3a）=0②
解①②得
∴
（2）根据题意得
∵a＞0，所以f（x）的最小值为
则
得
由在R上是减函数，
在R上恒成立
∴
得到，
综上所述