Question

某企业为了适应市场要求，计划从2011年起，在每月固定投资5万元的基础上，元月份追加投资6万元，以后每月的追加投资额均为之前几个月投资总和的20%，但每月追加部分的最高限额为10万元，记第个月的投资额为a_n（万元）．
（1）求a_n与n的关系式；
（2）预计2011年全年共需投资多少万元？
（精确到0.01，参考数据：1.2²=1.44，1.2³≈1.73，1.2⁴≈2.07，1.2⁵≈2.49，1.2⁶≈2.99）

Answer

（1）2011年1月共投资a1万元，2月共投资a2万元，3月共投资a3万元，由此可推得an；再由an=sn-sn-1，可得sn的解析式，从而得sn-1、an的解析式；
（2）2011年全年共需投资为s12=a1+a2+a3+a4+a5+…+a12，计算结果即可．
【解析】
（1）2011年1月，共投资a1=5+6万元，
2011年2月，共投资a2=5+a1×20%=5+（5+6）×20%万元，
2011年3月，共投资a3=5+[a1+a2]×20%=5+[5+6+5+（5+6）×20%]×20%万元，
∴an=5+sn-1×20%，其中sn-1×20%≤10；
由an=sn-sn-1=5+sn-1×20%，得5sn-5sn-1=25+sn-1，
∴5sn-6sn-1=25，即5[sn+25]=6[sn-1+25]，
∴sn+25=（s1+25）•=（a1+25）•=36×，
∴sn=-25+36×，∴sn-1=-25+36×；
∴an=5+sn-1×20%=5+[-25+36×]×=6×；
∵sn-1×20%≤10，∴sn-1≤50，即-25+36×≤50，得n=N=3，
当n≤N=3时，an=6×，其中a1=11；
当n＞N=3时，an=5+10=15；
（2）2011年全年的投资为：
s12=a1+a2+a3+（a4+a5+…+a12）=11+6×（）+6×+9×15=11+++135=146+=161.84万元