Question

已知椭圆方程为，它的一个顶点为A（0，2），离心率．
（1）求椭圆的方程；（2）直线l：y=kx-2（k∈R且k≠0），与椭圆相交于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点且有AP⊥MN，求实数k的值．

Answer

（1）直接利用题中条件列出方程组，解方程组即可求椭圆的方程；
（2）把直线方程与椭圆方程联立，可得关于点M、N坐标的等式，再利用中点坐标公式求出点P的坐标，代入由AP⊥MN得到的 即可 求实数k的值．
【解析】
（1）由它的一个顶点为A（0，2），离心率．得，
解得，
故椭圆的方程．
（2）联立⇒（1+3k2）x2-12kx=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y）
则，
所以y1+y2=k（x1+x2）-4=-．
故x=，y=-             
有AP⊥MN⇒⇒⇒⇒⇒k=．
故实数k的值为 ．