Question

已知函数，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x+2，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值．

Answer

（Ⅰ）先求出直线的斜率，因为曲线的切线垂直与直线，所以曲线的切线在该点的斜率与直线的斜率乘积为-1，即曲线在该点的导数与直线的斜率乘积为-1．
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，再讨论a的范围，根据导数求出函数的最值
【解析】
（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1．
函数y=f（x）的导数为，
则f′（1）=-+，所以a=1．（5分）
（Ⅱ）f′（x）=（ax-2）/x2，x∈（0，+∞）．
①当a=0时，在区间（0，e]上f′（x）=-2/x2，此时f（x）在区间（0，e]上单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为F（e）=．
②当＜0，即a＜0时，在区间（0，e]上f′（x）＜0，此时f（x）在区间（0，e]上单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=+a．
③当0＜＜e，即a＞时，
在区间上f′（x）＜0，此时f（x）在区间上单调递减；
在区间上f′（x）＞0，此时f（x）在区间上单调递增；
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（）=a+aln2．
④当，即时，
在区间（0，e]上f′（x）≤0，此时f（x）在区间（0，e]上为单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=+a．
综上所述，当时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为+a；
当a＞时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为a+aln．