Question

已知F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF₁F₂的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有
（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．4

Answer

设△MF1F2的内切圆的半径等于r，根据2πr=3π，求得 r 的值，由椭圆的定义可得  MF1 +MF2=2a，故△MF1F2的面积等于  （ MF1 +MF2+2c ）r=8r，又△MF1F2的面积等于  2c yM=12，求出yM的值，可得答案．
【解析】
设△MF1F2的内切圆的内切圆的半径等于r，则由题意可得 2πr=3π，∴r=．
由椭圆的定义可得  MF1 +MF2=2a=10，又 2c=6，
∴△MF1F2的面积等于  （ MF1 +MF2+2c ）r=8r=12．
又△MF1F2的面积等于  2c yM=12，∴yM=4，故 M是椭圆的短轴顶点，故满足条件的点M有2个，
故选  C．