Question

设数列{a_n}、{b_n}满足，且，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对一切n∈N^*，证明成立；
（Ⅲ）记数列{a_n²}、{b_n}的前n项和分别是A_n、B_n，证明：2B_n-A_n＜4．

Answer

（Ⅰ）由2nan+1=（n+1）an，得，由此可求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由，知要证明，只需证明ln（1+an）-an＜0成立．构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），则，当x＞0时，f'（x）＜0，故f（x）＜f（0）=0．ln（1+an）-an＜0对一切n∈N*都成立．
（Ⅲ）由2bn-an2=2ln（1+an）＜2an，知，利用错位相减求得2Bn-An＜4．
【解析】
（Ⅰ）由2nan+1=（n+1）an，得，（1分）
即数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴（3分）
（Ⅱ）∵，
∴要证明，只需证明2bn＜an2+2an，
即证，即证明ln（1+an）-an＜0成立．（5分）
构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），（6分）
则，当x＞0时，f'（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，
故f（x）＜f（0）=0．∴ln（1+x）-x＜0，即ln（1+an）-an＜0对一切n∈N*都成立，
∴．（8分）
（Ⅲ）∵2bn-an2=2ln（1+an），由（Ⅱ）可知，2bn-an2=2ln（1+an）＜2an，
∴2Bn-An＜2（a1+a2++an）=2（10分）
利用错位相减求得：，∴2Bn-An＜4（12分）