Question

数列{a_n}满足：∀n∈N*，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=1+log₂a_n，c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）先讨论n=1的情况，当n≥2时，利用前n项和与项的关系an=Sn-Sn-1求出通项．
（2）先求出bn，再求出Cn，据cn的特点：一个等差数列与一个等比数列的乘积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．
【解析】
（1）当n=1时，a1=1
当n≥2时，an=（a1+a2+a3+…+an）-（a1+a2+a3+…+an-1）=（2n-1）-（2n-1-1）=2n-1
显然，n=1时，适合上式
所以数列{an}的通项公式an=2n
（2）∵bn=1+log2an=1+n-1=n
∴cn=n•2n-1
∴Tn=1×2+2×21+3×22+…+n×2n-1①
 2Tn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n②
①-②得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n×2n=
∴Tn=（n-1）2n+1