Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，定点A（3，2）与点F在C的两侧，C上的动点P到点A的距离与到其准线l的距离之和的最小值为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设l与y轴交于点M，过点M任作直线与C交于P，Q两点，Q关于y轴的对称点为Q′．
①求证：Q′，F，P共线；
②求△MPQ′面积S的取值范围．

Answer

（Ⅰ）过P作PP1⊥l于P1，则|PA|+|PP1|=|PA|+|PF|≥|AF|．当P，A，F共线时，|PA|+|PP1|取最小值，．解得p=6，或p=2，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）①设直线PQ的方程为y=kx-1，由消去y，整理得x2-4kx+4=0，由△=16k2-16＞0，得|k|＞1．再由韦达定理知Q′，F，P共线．
②=|x1+x2|=4|k|，由|k|＞1，知S＞4．
【解析】
（Ⅰ）过P作PP1⊥l于P1，则|PA|+|PP1|=|PA|+|PF|≥|AF|．
当P，A，F共线时，|PA|+|PP1|取最小值．
解得p=6，或p=2．（3分）
当p=6时，抛物线C的方程为x2=12y，此时，点A与点F在抛物线C同侧，这与已知不符．∴p=2，
抛物线C的方程为x2=4y．（5分）
（Ⅱ）①设直线PQ的方程为y=kx-1，由消去y，整理得x2-4kx+4=0，
由△=16k2-16＞0，得|k|＞1．（7分）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则Q′（-x2，y2），x1+x2=4k，x1•x2=4.．
∴Q′，F，P共线．（11分）
②=|x1+x2|=4|k|，
∵|k|＞1，∴S＞4．（15分）