Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ax+1（a是不为零的常数，且a∈R）．
（1）讨论函数F（x）=f（x）•g（x）的单调性；
（2）当a=-1时，方程f（x）•g（x）=t在区间[-1，1]上有两个解，求实数t的取值范围．

Answer

（1）求函数F（x）=f（x）•g（x）的导数F′（x），再根据F′（x）的零点，讨论实数a的取值，可得F′（x）=0有一个或零个实数根，因此将实数集分为2个区间，分别在这两个区间上讨论的正负，即可得出函数的单调性；
（2）当a=-1时，F（x）=f（x）•g（x）=ex（-x+1），可以得出F（x）在（-∞，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数，故函数的最大值为F（0）=1，可以求出符合题的实数t的取值范围；
【解析】
（1）由题意可得F（x）=f（x）g（x）=ex（ax+1）
∴F′（x）=ex（ax+a+1）
令∴F′（x）=ex（ax+a+1）=0
∴
∴当a＞0时F（x）=f（x）•g（x）的单调增区间为（，+∞）单调减区间为（-∞，）
当a＜0时F（x）=f（x）•g（x）的单调增区间为（-∞，）单调减区间为（，+∞）
（2）由题意可得当a=-1时，F（x）=f（x）•g（x）=ex（-x+1）
由（1）可得当a=-1时可以得出F（x）在（-∞，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数
∴函数的最大值为F（0）=1
又∵方程f（x）•g（x）=t在区间[-1，1]上有两个解
∴实数t的取值范围是（-∞，1）．