Question

已知数列a_n满足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）由（1）猜想a_n的通项公式，并给出证明．

Answer

（1）由题设条件得，由此能够求出a1，a2，a3，a4的值．
（2）猜想，然后用数学归纳法进行证明．
【解析】
（1）由4an+1-anan+1+2an=9得，
求得（3分）
（2）猜想（5分）
证明：①当n=1时，猜想成立．（6分）
②设当n=k时（k∈N+）时，猜想成立，即，（7分）
则当n=k+1时，有，
所以当n=k+1时猜想也成立（9分）
③综合①②，猜想对任何n∈N+都成立．（10分）