Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，且有侧面PDC⊥底面ABCD，侧棱PB与底面ABCD所成角的正切值为，∠ADC为锐角，M为侧棱PB的中点．
（I）求证：PA⊥CD；
（II）求二面角P-AB-D的大小．

Answer

（Ⅰ）过P作PE⊥CD于E连接AE，根据线面所成角的定义可知∠PBE为侧棱PB与底面ABCD所成的角，求出PE与BE，在△BCE中，求出∠BCE，从而得到△ADC是边长为2的等边三角形，则AE⊥CD，根据三垂线定理可知PA⊥CD；
（II）根据二面角平面角的定义可知∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角，在三角形APE中求出此角即可．
【解析】
（Ⅰ）过P作PE⊥CD于E连接AE
∵侧面PDC⊥底面ABCD，PE⊂侧面PDC
CA⊥BD，PM⊥EN
∴PE⊥底面ABCD
∴AE是PA在底面ABCD上的射影
连接BE，
则∠PBE为侧棱PB与底面ABCD所成的角
∵侧面PDC是边长为2的正三角形
∴∴
在△BCE中，BC=2，CE=1，
∴∴
∴故△ADC是边长为2的等边三角形∵E为DC的中点，∴AE⊥CD
∴PA⊥CD
（Ⅱ）∵PA⊥CD，AE⊥CD，CD∥AB，∴PA⊥AB．AE⊥AB，
∴∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角
∵△ADC和△PDC都是边长为2的正三角形，
∴PE=AE，又∵PE⊥AE，
∴∠APE=45°即二面角P-AB-D的大小为45°