Question

已知数列a_n，点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在一次函数y=2x+m的图象上，数列b_n满足条件b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*，b₁≠0）．
（I）求证：数列b_n是等比数列；
（II）设数列a_n，b_n的前n项和分别为S_n、T_n且S₆=T₄，S₅=-9，求实数m的值．

Answer

（Ⅰ）由题设知an+1=2an+m，所以an+1+m=2（an+m），又bn=an+1-an=2（an+m）-an=an+m，bn+1=an+1+m=2（an+m）=2bn，且b1=a1+m≠0，由此证明数列bn是以a1+m为首项，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由S6=T4bn=an+m，知a1+a2+…+a5+a6=a1+a2+a3+a4+4m，a5+a6=4m．由（Ⅰ）知bn=（a1+m）×2n-1，则an=（a1+m）•2n-1-m，由此可求出实数m的值．
【解析】
（Ⅰ）∵P（an，an+1）在一次函数y=2x+m的图象上∴an+1=2an+m
∴an+1+m=2（an+m）又bn=an+1-an=2（an+m）-an=an+m
∴bn+1=an+1+m=2（an+m）=2bn，且b1=a1+m≠0
∴数列bn是以a1+m为首项，公比为2的等比数列（6分）
（Ⅱ）∵S6=T4bn=an+m
∴a1+a2+…+a5+a6=a1+a2+a3+a4+4m
∴a5+a6=4m（7分）
由（Ⅰ）知bn=（a1+m）×2n-1即an+m=（a1+m）•2n-1则an=（a1+m）•2n-1-m
∴（a1+m）×24-m+（a1+m）×25-m=4m
∴（10分）
∵S5=-9an+m是以2为公比的等比数列∴
解得：m=8（12分）