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偶函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,且f'(1)=-2,f(x+2)=f(x-...

偶函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,且f'(1)=-2,f(x+2)=f(x-2),则曲线y=f(x)在点(-5,f(-5))处切线的斜率为( )
A.2
B.-2
C.1
D.-1
由f(x)可导,对f(x+2)=f(x-2)两边求导,得到一个关系式,记作①,又根据f(x)为偶函数,得到一个式子,对此式两边求导,得到另一个关系式,记作②,把x换为x+2代入①,令x=-1即可求出f′(-5)的值即为所求切线的斜率. 【解析】 由f(x)在(-∞,+∞)内可导,对f(x+2)=f(x-2)两边求导得: f′(x+2)(x+2)′=f′(x-2)(x-2)′,即f′(x+2)=f′(x-2)①, 由f(x)为偶函数,得到f(-x)=f(x), 故f′(-x)(-x)′=f′(x),即f′(-x)=-f′(x)②, 则f′(x+2+2)=f′(x+2-2),即f′(x+4)=f′(x), 所以f′(-5)=f′(-1)=-f′(1)=2,即所求切线的斜率为2. 故选A
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B.2
C.3
D.4
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