已知抛物线y2=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与...

已知抛物线y²=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x交于点C．
（1）求证：|MA|，|MC|、|MB|成等比数列；
（2）设 manfen5.com 满分网

，

，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

（1）设直线l的方程为：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|MA|，|MC|、|MB|成等比数列，从而解决问题．（2）由，得，，，从而利用x1，x2，及k来表示α，β，最后结合（1）中根系数的关系即得故α+β为定值．【解析】（1）设直线l的方程为：y=kx+2（k≠0），联立方程可得得：k2x2+（4k-4）x+4=0① 设A（x1，y1），B（x2，y2），，则，②，而， ∴|MC|2=|MA|•|MB|≠0，即|MA|，|MC|、|MB|成等比数列（7分）（2）由，得，，即得：，，则由（1）中②代入得α+β=-1，故α+β为定值且定值为-1（13分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等