Question

已知函数f（x）=e^x，直线l的方程为y=kx+b．
（1）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（2）若f（x）≥kx+b对任意x∈R成立，求实数k、b应满足的条件．

Answer

（1）先求出曲线y=f（x）的切线y-et=et（x-t），再利用直线l是曲线y=f（x）的切线可以求得，再构造函数F（x）=f（x）-kx-b，利用其导函数研究出其单调性进而求出其最小值大于等于0即可．
（2）先把问题转化为ex≥kx+b对任意x∈R成立，下面再分情况求出满足要求的实数k、b的范围即可．
【解析】
（1）证明：∵f'（x）=ex
记切点为T（t，et），
∴切线l的方程为y-et=et（x-t）
即y=etx+et（1-t）（3分）
∴．
记函数F（x）=f（x）-kx-b，
∴F（x）=ex-etx-et（1-t）
∴F'（x）=ex-et
∴F（x）在x∈（-∞，t）上为减，在x∈（t，+∞）为增
故Fmin（x）=F（t）=et-ett-et（1-t）=0
故F（x）=f（x）-kx-b≥0
即f（x）≥kx+b对任意x∈R成立（7分）
（2）∵f（x）≥kx+b对任意x∈R成立，
即ex≥kx+b对任意x∈R成立
①当k＜0时，取，
∴，而kx+b=|b|+1+b≥1
∴，
∴k＜0不合题意．
②当k=0时，若b≤0，则ex≥kx+b对任意x∈R成立
若b＞0取，
∴，而kx1+b=b
∴，
∴k=0且b＞0不合题意，
故k=0且b≤0不合题意（10分）
③当k＞0时，
令G（x）=ex-kx-b，G'（x）=ex-k，由G'（x）=0，得x=lnk，
所以G（x）在（-∞，lnk）上单减，（lnk，+∞）单增
故G（x）≥G（lnk）=k-klnk-b≥0
∴（13分）
综上所述：满足题意的条件是或（14分