Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，分别过A，C作平面ABC的垂线AA′和CC′，AA′=2，CC′=1，连接A′C和AC′交于点P，M为BC边上的点，．
（I）求证：直线PM∥平面A′AB；
（II）求直线MP与平面A′AC所成的角．

Answer

（I）利用成比列线段证明 PM∥A′B，从而证明 PM∥面AA′B．
（II） PM 与面AA′C成的角即为A′B与面AA′C成的角，设AC的中点为O，∴∠BA′O 即为直线MP与平面A′AC所成的角，由tan∠BA′O= 求出∠BA′O 的大小．
【解析】
（I）证明：∵AA′⊥平面ABC，∴CC′⊥平面ABC，∴AA′∥CC′，∴．
又∵CM=，BC=2，∴=2，∴PM∥A′B．又 A′B⊂面AA′B，
PM不在面AA′B内，∴PM∥面AA′B．
（II）由（I）知，PM∥A′B，∴PM 与面AA′C成的角即为A′B与面AA′C成的角，设AC的中点为O，
Rt△ABC中，BA=BC=2，∴BO⊥AC，且 BO=．∵AA′⊥面ABC，∴面AA′C⊥面ABC，
又∵面AA′C∩面ABC=AC，∴BO⊥面ABC，∴∠BA′O 即为直线MP与平面A′AC所成的角．
∵AO=，A′A=2，∴A′O=，∴tan∠BA′O==，∴∠BA′O=30°．
故直线MP与平面A′AC所成的角为30°．