Question

已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列x_n是一个公差为2的等差数列，满足f（x₈）+f（x₉）+f（x₁₀）+f（x₁₁）=0，则x₂₀₁₁的值等于    ．

Answer

设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，则f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．所以f（a+3）=0=f（0），x8=-3．设数列{xn}通项xn=x1+（n-1）．x8=x1+14=-3．x1=-17．通项xn=2n-19．由此能求出x2011的值．
【解析】
设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，
∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，
且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），
∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．
结合奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，
f（a+2）+f（a+4）=0．
∴f（a+3）=0=f（0），
即a+3=0．
∴x8=-3．
设数列{xn}通项xn=x1+2（n-1）．
∴x8=x1+14=-3．
∴x1=-17．
∴通项xn=2n-19．
∴x2011=2×2011-19=4003．
故答案为：4003．