Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，{b_n}等比数列，满足b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²．
（I）求数列{b_n}公比q的值；
（II）若a₂=-1且a₁＜a₂，求数列{a_n}公差的值．

Answer

（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，b22=b1b3，代入等差数列的通项公式可得  （a1+d）4=a12（a1+2d）2，解方程可得，，分别代入等比数列的通项可求公比
（II）（法一）a1＜a2＜0  可得，a12＞a22 则0＜q＜1，从而可求公比
结合已知b2=a22=1可得b1q=1，可求b1，a1，进一步可求公差d
（法二）同法一可得公比q，则有解方程可得 d
【解析】
（I）：设等差数列的公差为d
∵b22=b1b3∴（a1+d）4=a12（a1+2d）2
∴（a1+d）2=a1（a1+2d） 或（a1+2d）2=-a1（a1+2d）
∴d=0（舍去）或 d2+4a1d+2a12=0
∴
（1）当时，
（2）当时，
综上或
（II）（法一）∵a1＜a2＜0∴a12＞a22，0＜q＜1∴
∵b2=a22=1即b1q=1
∴
∴∴，∴
（法二）a1＜a2＜0，∴a12＞a22，0＜q＜1∴
∴
得