Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3b₁=3，a₂=6，b_n+1=2b_n-2ⁿ，b_n=a_n-na_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（I）探究数列是等差数列还是等比数列，并由此求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）由条件可得 数列{ }构成以为首项，以-为公差的等差数列，故 =- （n-1），从而得到bn．
（II）先推出 =n，可得 ═n（n-1）（n-2）×…×3×2，得到nan=（n+1）!-n!+n 2n，进而得到 sn=（n+1）!-1+（ 1×2+2×22+…+n2n ）．用错位相减法求得1×2+2×22+…+n2n 的值，即可得到sn的值．
【解析】
（I）∵bn+1=2bn-2n ，∴bn+1-2bn =-2n ，∴=-．
∴数列{ }构成以为首项，以-为公差的等差数列，∴=- （n-1），
∴bn= ）．
（II）∵bn=an-nan-1，∴an-2n=nan-1-n2n-1=n（ an-1-2n-1 ），
∴=n，
∴=••… 
=n（n-1）（n-2）×…×3×2，又 a1=3，故 an=n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+2n，
nan=n×n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+n 2n=（n+1）!-n!+n 2n，
∴sn=（2!-1!）+（3!-2!）+（4!-3!）+…+（（n+1）!-n!）+（1×2+2×22+…+n2n ）
=（n+1）!-1+（ 1×2+2×22+…+n2n ）．
令Tn=1×2+2×22+…+n2n，①则 2Tn=1×22+2×23+…+n 2n+1，②
①-②可得，-Tn=2+22+23+…-n 2n+1，∴Tn=（n-1）2n+1+2，
∴sn=（n+1）!+（n-1）2n+1+1．