Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=1，E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求证：PC⊥BD；
（3）求四棱锥P-ABCD的表面积．

Answer

（1）欲证PB∥平面AEC，关键是在平面AEC内找一直线与PB平行，连接BD交AC于点O，连接EO，利用中位线平行即可证得；
（2））由题意得四边形ABCD是正方形所以BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC．进而可以证明线线垂直．
（3）因为CD⊥AD，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥PD，所以△PCD是直角三角形．所以S△PCD=同理得S△BCP=，再根据已知求出其他各面的面积求和即可．
【解析】
（1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB．
∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（2）∵四边形ABCD是正方形∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵PA∩AC=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC
∴BD⊥平面PAC
∵PC⊂平面PAC
∴PC⊥BD
（3）由题意得：
∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD
∵PD⊂平面PAC∴CD⊥PD
所以△PCD是直角三角形
因为PA=AB=1所以S△PCD=
同理CB⊥PB即得到S△BCP=．
因为PA⊥面ABCD，底面ABCD为正方形
所以
所以四棱锥P-ABCD的表面积为．