Question

已知F₁、F₂为椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，第二象限内的点P在椭圆上，以P为圆心的圆与x轴相切于点F₁．
（I）若a=3，∠F₁PF₂=60°，求圆P的方程；
（II）若|F₁F₂|=4，且圆P与y轴相交，求实数a的取值范围．

Answer

（I）由题意可得：F1P⊥F1F2，∠PF1F2=90°，因为∠F1PF2=60°，所以|PF2|=2|PF1|．结合椭圆的定义可得所以|PF2|=4，|PF1|=2，所以|F1F2|=2．进而求出圆的圆心与半径，解决问题．
（II）设点P的坐标为（m，n），根据题意可得m=-2，进而得到点P的纵坐标与圆的半径，因为圆P与y轴相交，所以n=．结合a2-b2=c2=4，可得答案．
【解析】
（I）由题意可得：以P为圆心的圆与x轴相切于点F1，
所以F1P⊥F1F2，∠PF1F2=90°．
因为∠F1PF2=60°，
所以|PF2|=2|PF1|．
因为|PF2|+|PF1|=2a=6，
所以|PF2|=4，|PF1|=2，
所以|F1F2|=2．
所以点P的横坐标为-，所以其纵坐标为2，圆的半径为2．
所以圆P的方程为）（x+）2+（y-2）2=4．
（II）设点P的坐标为（m，n），
因为以P为圆心的圆与x轴相切于点F1，并且|F1F2|=4，
所以m=-2．
把m=-2代入椭圆方程可得：=r，
因为圆P与y轴相交，
所以．
又因为a2-b2=c2=4，
所以可得a2-2a-4＞0，解得a＞1+或者．
所以实数a的取值范围为a＞1+．