Question

已知数列{a_n} 的首项为1，前n项和为S_n，且满足a _n+1=3S_n，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=log₄a_n．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）当n∈N^*时，试比较b₁+b₂+…+b_n与与（n-1）²的大小，并说明理由．

Answer

（1）根据an+1=3Sn得an+2=3Sn+1两式相减整理可得 ，进而可判断出数列{an} 从第二项起是以4为公比的等比数列．进而根据等比数列的通项公式求得当n≥2时的通项公式，最后综合可得数列{an}的通项公式；
（2）把（1）中的代入bn=log4an求得bn，进而对b1+b2+b3+…+bn进行分组求和求得b1+b2+b3+…+bn=
进而根据 证明原式．
【解析】
（I）由an+1=3Sn（1），得an+2=3Sn+1（2），
由（2）-（1）得an+1-an+1=3an+1，
整理，得 ，n∈N*．
所以，数列a2，a3，a4，…，an，是以4为公比的等比数列．
其中，a2=3S1=3a1=3，
所以 ；
（II）由题意，．
当n≥2时，b1+b2+b3+…+bn
=0+（log43+0）+（log43+1）+…+（log43+n-2）
=
=
=，
所以 ．