Question

在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中a²+b²≠0且ω＞0．设．
（1）若，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在区间[0，2π]内的解集；
（2）若点A是过点（-1，1）且法向量为的直线l上的动点．当x∈R时，设函数f（x）的值域为集合M，不等式x²+mx＜0的解集为集合P．若P⊆M恒成立，求实数m的最大值；
（3）根据本题条件我们可以知道，函数f（x）的性质取决于变量a、b和ω的值．当x∈R时，试写出一个条件，使得函数f（x）满足“图象关于点对称，且在处f（x）取得最小值”．

Answer

（1）根据向量数量积的定义表示出函数f（x）的解析式将，b=1，ω=2代入后化简，再令f（x）=1解出x的值即可．
（2）先写出直线l的方程，得到a与b的关系代入f（x）求出函数f（x）的值域M，解出集合P后令P⊆M恒成立即可．
（3）根据三角函数的对称性对b分大于0和小于0两种情况进行分析．
【解析】
（1）由题意，
当，b=1，ω=2时，，，
则有或，k∈Z．
即或，k∈Z．
又因为x∈[0，2π]，故f（x）=1在[0，2π]内的解集为．
（2）由题意，l的方程为-（x+1）+（y-1）=0⇔y=x+2．A在该直线上，故b=a+2．
因此，，
所以，f（x）的值域．
又x2+mx=0的解为0和-m，故要使P⊆M恒成立，
只需，而
即，所以m的最大值．
（3）因为，
设周期．
由于函数f（x）须满足“图象关于点对称，
且在处f（x）取得最小值”．
因此，根据三角函数的图象特征可知，⇒ω=6n+3，n∈N．
又因为，形如的函数的图象的对称中心都是f（x）的零点，故需满足，
而当ω=6n+3，n∈N时，
因为，n∈N；
所以当且仅当φ=kπ，k∈Z时，f（x）的图象关于点对称；
此时，⇒a=0，．
（i）当b＞0，a=0时，f（x）=sinωx，进一步要使处f（x）取得最小值，
则有，k∈Z；
又ω＞0，则有ω=12k-3，k∈N*；因此，由
ω=6n+3，n∈N×
ω=12k-3，n∈N*
可得ω=12m+9，m∈N；
（ii）当b＜0，a=0时，f（x）=-sinωx，进一步要使处f（x）取得最小值，
则有，k∈Z；
又ω＞0，则有ω=12k+3，k∈N；因此，由
ω=6n+3，n∈N×
ω=12k-3，n∈N*
可得ω=12m+3，m∈N；
综上，使得函数f（x）满足“图象关于点对称，
且在处f（x）取得最小值”的充要条件是：
“当b＞0，a=0时，ω=12m+9（m∈N）或当b＜0，a=0时，ω=12m+3（m∈N）”．