Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x+2．
（Ⅰ）若a=-1，令函数g（x）=2x-f（x），求函数g（x）在（-1，2）上的极大值、极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在上恒为单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求出函数g（x）=2x-f（x）的导函数，利用导函数求出原函数的单调区间，进而求出其极大值、极小值；
（Ⅱ）先求出其导函数，把函数f（x）在上恒为单调递增函数，转化为其导函数的最小值恒大于等于0，利用二次函数在固定区间上求最值的方法求出导函数的最小值，再与0比即可求出实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）g（x）=2x-（x3-x2+x+2）=-x3+x2+x-2，所以g'（x）=-3x2+2x+1
由g'（x）=0得或x=1（12分）

x 1 （1，+∞）
g'（x） - + -
g（x） ↘ ↗ -1 ↘

所以函数g（x）在处取得极小值；在x=1处取得极大值-（16分）
（Ⅱ）因为f'（x）=3x2+2ax+1的对称轴为
（1）若即a≤1时，要使函数f（x）在上恒为单调递增函数，则有△=4a2-12≤0，解得：，所以；（8分）
（2）若即a＞1时，要使函数f（x）在上恒为单调递增函数，则有，解得：a≤2，所以1＜a≤2；（10分）
综上，实数a的取值范围为（12分）