Question

设f（k）是满足不等式log₂x+log₂≥2k（k∈N^*）的自然数x的个数．
（1）求f（k）的函数解析式；
（2）S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），求S_n；
（3）设P_n=2ⁿ⁺¹+n-3，由（2）中S_n及P_n构成函数T_n，，求T_n的最小值与最大值．

Answer

（1）、由log2x+log2（5•2k-1-x）≥2k可知 ，解这个不等式组得到x的取值范围后，就能求出f（k）的解析式；
（2）、由Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）=3（1+2+22+…+2n-1）+n，利用等比数列求和公式，即可求得结果；
（3）将Sn及Pn代入函数Tn中，利用对数的运算性质对Tn化简得到，利用分子常数化，和反比例函数的单调性，即可求得Tn的最小值与最大值．
【解析】
【解析】
（1）∵log2x+log2（5•2k-1-x）≥2k，∴log2（5•2k-1x-x2）≥2k=log222k，
∴，
解得得2k-1≤x≤4•2k-1．
∴f（k）=4•2k-1-2k-1+1=3•2k-1+1（k∈N*）
（2）sn=f（1）+f（2）+…+f（n）=3（2+21+22+…+2n-1）+n
=；
（3）
=
=，
则n=9时有最小值T9=-18；n=10时有最大值T10=20．