Question

已知双曲线C的方程为=1（a＞0，b＞0），离心率，顶点到渐近线的距离为．
（I）求双曲线C的方程；
（II）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求△AOB面积的取值范围．

Answer

（1）先由双曲线标准方程求得顶点坐标和渐进线方程，进而根据顶点到渐近线的距离求得a，b和c的关系，进而根据离心率求得a和c的关系，最后根据c=综合得方程组求得a，b和c，则双曲线方程可得．
（2）由（1）可求得渐近线方程，设A（m，2m），B（-n，2n），根据得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n与λ的关系式，设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，根据λ的范围求得三角形面积的最大值和最小值，△AOB面积的取值范围可得．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（O，a）到渐近线ax-by=0的距离为，
∴，
由，得
∴双曲线C的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x．
设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0，n＞0．
由得P点的坐标为，
将P点坐标代入，化简得．
设∠AOB=2θ，∵，∴．
又
∴．
记，
由S'（λ）=0得λ=1，又S（1）=2，，
当λ=1时，△AOB的面积取得最小值2，当时，
△AOB的面积取得最大值
∴△AOB面积的取值范围是．