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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4...

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥BC1
(Ⅱ)求二面角D-CB1-B的平面角的正切值.

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(I)根据所给的直三棱柱的条件,写出勾股定理得到两条线段垂直,根据侧棱与底面垂直,得到一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直,得到线面垂直,进而得到线线垂直. (II)以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系,写出要用的点的坐标,写出向量,设出平面的法向量,求出法向量,根据两个向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角D-CB1-B的大小. 【解析】 (Ⅰ)证明:直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5, ∵AC2+BC2=AB2 ∴AC⊥BC, 又 AC⊥C1C,且BC∩C1C=C ∴AC⊥平面BCC1,又BC1⊂平面BCC1 ∴AC⊥BC1            (II)以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系 ∵AC=3,BC=4,AA1=4, ∴A(3,0,0),B(0,4,0)C(0,0,0),, B1(0,4,4), ∴, 平面CBB1C1的法向量, 设平面DB1C的法向量, 则,的夹角(或其补角)的大小就是二面角D-CB1-B的大小   则由令x=4,则y=-3,z=3 ∴…(10分) ,则 ∵二面角D-B1C-B是锐二面角 ∴二面角D-B1C-B的正切值为
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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